17757. Каждая из трёх окружностей радиуса r
проходят через центр друг друга. Найдите площадь общей части кругов, ограниченных этими окружности.
Ответ. \frac{1}{2}r^{2}(2\pi-\sqrt{3})
.
Решение. Пусть O_{1}
, O_{2}
и O_{3}
— центры окружностей, A
— площадь треугольника O_{1}O_{2}O_{3}
, S
— площадь сектора первой окружности с дугой O_{2}O_{3}
. Тогда искомая площадь равна
A+3(S-A)=A+3S-3A=3S-2A=3\cdot\frac{1}{6}\cdot\pi r^{2}-2\cdot\frac{r^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}r^{2}(2\pi-\sqrt{3}).
Источник: Новозеландские математические олимпиады. — 2017, задача 1, младшие классы