17758. Высоты AG
, BE
и CF
остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке H
. Найдите \angle ACB
, если AB=CH
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Поскольку \angle ACF=\angle ABE
, получаем
\angle CHE=90^{\circ}-\angle ACF=\angle BAE.
Значит, прямоугольные треугольники CHE
и BAE
равны по гипотенузе и острому углу. Тогда AE=EH
, поэтому прямоугольный треугольник AEH
— равнобедренный, \angle EAH=45^{\circ}
. Из равнобедренного прямоугольного треугольника AGC
находим, что
\angle ACB=\angle ACG=90^{\circ}-\angle CAG=90^{\circ}-\angle EAH=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}.
Источник: Новозеландские математические олимпиады. — 2017, задача 5, старшие классы