17759. Найдите площадь выпуклого пятиугольника ABCDE
со сторонами AB=AE=CD=1
, BC=2
и углами \angle ABC=150^{\circ}
и \angle BCD=60^{\circ}
.
Ответ. \frac{1}{4}(5+3\sqrt{3})
.
Решение. Опишем около данного пятиугольника прямоугольник AFGH
(точка B
лежит на его стороне AF
, точка C
— стороне FG
, точка D
— на стороне GH
, точка E
— на стороне AH
). Тогда
\angle CBF=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ},~CF=\frac{1}{2}BC=1,~BF=\sqrt{3},
S_{\triangle BCF}=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},
\angle DCG=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ},~CG=\frac{1}{2},~DG=\frac{\sqrt{3}}{2},
S_{\triangle DCG}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8},
DH=GH-GD=AF-DG=(1+\sqrt{3})-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{2},
S_{\triangle DHE}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2+\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{8},
S_{AFGH}=AF\cdot AG=(1+\sqrt{3})\cdot\frac{3}{2}=\frac{3(1+\sqrt{3})}{2}.
Следовательно,
S_{ABCDE}=S_{AFGH}-S_{\triangle BCF}-S_{\triangle DCG}-S_{\triangle DHE}=
=\frac{3(1+\sqrt{3})}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{8}-\frac{2+\sqrt{3}}{8}=\frac{1}{4}(5+3\sqrt{3}).
Источник: Новозеландские математические олимпиады. — 2018, задача 5, младшие классы