17760. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
, в котором \angle BAC=20^{\circ}
, \angle CAD=60^{\circ}
, \angle ADB=50^{\circ}
и \angle BDC=10^{\circ}
. Найдите \angle ACB
.
Ответ. 80^{\circ}
.
Решение. Треугольник ADC
равносторонний, поскольку
\angle ADC=\angle ADB+\angle BDC=50^{\circ}+10^{\circ}=60^{\circ}=\angle CAD~\Rightarrow~\angle ACD=60^{\circ}.
В то же время
\angle BAD=\angle BAC+\angle CAD=20^{\circ}+60^{\circ}=80^{\circ}~\Rightarrow
\Rightarrow~\angle ABD=180^{\circ}-\angle BAD-\angle ADB=180^{\circ}-80^{\circ}-50^{\circ}=50^{\circ}=\angle ADB,
поэтому треугольник ABD
равнобедренный, AB=AD=AC
. Значит, треугольник BAC
равнобедренный с основанием BC
. Следовательно,
\angle ACB=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}-10^{\circ}=80^{\circ}.
Источник: Новозеландские математические олимпиады. — 2019, задача 1, младшие классы