17765. Точки C
, B
и E
лежат на прямой l
в указанном порядке. Точки A
и D
расположены по одну сторону от прямой l
, причём
а) \angle ACE=\angle CDE=90^{\circ}
;
б) CA=CB=CD
.
Пусть F
— точка пересечения отрезка AB
с описанной окружностью треугольника ADC
. Докажите, что F
— центр вписанной окружности треугольника CDE
.
Решение. Поскольку треугольник ACB
прямоугольный и равнобедренный, а вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то
\angle CDF=\angle CAF=45^{\circ}~\Rightarrow~\angle FDE=\angle CDE-\angle CDF=45^{\circ}=\angle CDF.
Значит, DF
— биссектриса угла CDE
.
Треугольник CDB
равнобедренный с основанием BD
, поэтому \angle CBD=\angle CDB
. Значит,
\angle FBD=\angle CBD-45^{\circ}=\angle CDB-45^{\circ}=\angle FDB~\Rightarrow~FD=FB.
Тогда треугольники BCF
и DCF
равны по трём сторонам, поэтому \angle BCF=\angle DCF
. Значит, CF
— биссектриса угла при вершине C
треугольника DCE
. Следовательно, F
— точка пересечения биссектрис этого треугольника, т. е. центр его вписанной окружности. Что и требовалось доказать.
Источник: Сингапурские математические олимпиады. — 1995-1996, отбор на Международную олимпиаду, задача 2.1