17769. Дан треугольник ABC
, в котором AB\gt AC
, биссектриса внешнего угла при вершине A
пересекает его описанную окружность в точке E
, а F
— основание перпендикуляра, опущенного из точки E
на сторону AB
. Докажите, что 2AF=AB-AC
.
Решение. На продолжении отрезка AF
за точку F
отложим отрезок FA'=AF
. Треугольник AEA'
равнобедренный, с основанием AA'
, так как его высота EF
является медианой.
Пусть луч EA'
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке E'
, а D
— точка на продолжении стороны CA
за вершину A
. Тогда по свойству вписанного четырёхугольника
\angle AA'E=\angle A'AE=\angle EAD=180^{\circ}-\angle CAE=\angle CBE.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle BEE'=\angle BEA'=\angle AA'E-\angle ABE=\angle CBE-\angle ABE=\angle ABC,
а так как треугольник E'BA'
подобен равнобедренному треугольнику AEA'
, то то BA'=BE'=AC
. Следовательно,
2AF=AA'=AB-BA'=AB-AC.
Что и требовалось доказать.
Источник: Сингапурские математические олимпиады. — 1990-2000, отбор на Международную олимпиаду, задача 1.1