17770. В треугольнике ABC
угол при вершине C
равен 60^{\circ}
. Точки D
, E
и F
лежат на сторонах BC
, AB
и AC
соответственно, а M
— точка пересечения отрезков AD
и BF
. Известно, что CDEF
— ромб. Докажите, что DF^{2}=DM\cdot DA
.
Решение. Поскольку DE\parallel AC
, треугольники DEB
и FAE
подобны, поэтому \frac{DB}{DE}=\frac{FE}{FA}
, а так как CDEF
— ромб, то DE=FE=DF
. Тогда
\frac{DB}{DF}=\frac{DB}{DE}=\frac{FE}{AF}=\frac{DF}{AF}.
Кроме того, треугольники CDF
и DEF
равносторонние, поэтому
\angle BDF=\angle BDE+\angle EDF=60^{\circ}+60^{\circ}=120^{\circ},
\angle DFA=\angle EFA+\angle EFD=60^{\circ}+60^{\circ}=120^{\circ},
поэтому, треугольники BDF
и DFA
подобны по двум сторонами и углу между ними. Тогда
\angle DFM=\angle DFB=\angle DFM.
Значит, треугольники DMF
и DFA
с общим углом при вершине F
подобны по двум углам, поэтому
\frac{DF}{DA}=\frac{DM}{DF}~\Rightarrow~DF^{2}=DM\cdot DA.
Следовательно, DF^{2}=DM\cdot DA
. Что и требовалось доказать.
Источник: Сингапурские математические олимпиады. — 1999-2000, отбор на Международную олимпиаду, задача 2.2