17771. Точки P
и Q
лежат на стороне BC
треугольника ABC
, причём точка P
лежит между P
и Q
. Описанные окружности треугольников PAB
и QAC
пересекаются в точке M
, отличной от A
, а описанные окружности треугольников PAC
и QAB
— в точке N
, отличной от A
. Докажите, что точки A
, M
и N
лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда точки P
и Q
симметричны относительно середины A'
стороны BC
.
Решение. Пусть K
и L
— точки пересечения прямой BC
с прямыми AM
и AN
соответственно. Предположим, что луч BC
— ось абсцисс прямоугольной системы координат с началом в точке B
, а c
, p
, q
, k
и l
— абсциссы точек C
, P
, Q
, K
и L
соответственно.
Точка K
лежит на радикальной оси описанных окружностей треугольников PAB
и QAC
, значит, её степени относительно этих окружностей равны, т. е.
k(k-p)=(k-q)(k-c)~\Rightarrow~k=\frac{cq}{c+q-p}.
Аналогично,
l=\frac{cp}{c+p-q}.
Заметим, что точки K
и L
совпадают, тогда и только тогда BK=BL
, т. е.
l=k~\Leftrightarrow~p+q=c~\Leftrightarrow~\frac{p+q}{2}=\frac{c}{2},
т. е. точки K
и L
совпадают с A'
тогда и только тогда, когда A'
— середина PQ
, т. е. P
и Q
симметричны относительно A'
.
Источник: Сингапурские математические олимпиады. — 2000-2001, отбор на Международную олимпиаду, задача 1.2