17774. Точки A
, B
, C
, D
, E
расположены на окружности \Gamma
в указанном порядке против часовой стрелки. Продолжения отрезков CD
и AE
пересекаются вне окружности \Gamma
в точке Y
. На продолжении отрезка AC
отмечена точка X
, для которой прямая BX
касается окружности \Gamma
. Докажите, что XY=XB
тогда и только тогда, когда XY\parallel DE
.
Решение. Пусть XY=XB
. По теореме о касательной и секущей
XY^{2}=XB^{2}=XC\cdot XA~\Rightarrow~\frac{XY}{XC}=\frac{XA}{XY}.
Тогда треугольники XCY
и XYA
подобны, поэтому, учитывая, что четырёхугольник ACDE
вписанный, получим
\angle EDY=180^{\circ}-\angle CDE=\angle XAY=\angle XYC.
Следовательно, DE\parallel XY
.
Проведя все рассуждения в обратном порядке, получим, что верно и обратное утверждение.
Источник: Сингапурские математические олимпиады. — 2001-2002, отбор на Международную олимпиаду, задача 1.1