17777. Диагонали вписанного четырёхугольника ABDC
, не являющегося трапецией, пересекаются в точке E
. Точки F
и G
— середины сторон AB
и CD
соответственно. Прямая l
, параллельная AB
, проходит через точку G
. Точки H
и K
соответственно — основания перпендикуляров, опущенных из точки E
на прямую l
. Докажите, что прямые EF
и HK
перпендикулярны.
Решение. Поскольку EF
и EG
— соответственные медианы подобных треугольников AEB
и DEC
, треугольники BFE
и CEG
подобны. Значит, \angle EFB=\angle CGE
.
Из точек H
и K
отрезок EG
виден под прямым углом, поэтому точки H
и K
лежат на окружности с диаметром EG
. Тогда
\angle KHE=\angle CGE=\angle EFB,
а так как FB\perp HE
, то EF\perp KH
.
Источник: Балканская математическая олимпиада. — 2011, задача 2