17778. Точка D
лежит на диагонали параллелограмма ABCD
, причём \angle PCB=\angle ACD
. Описанная окружность треугольника ABD
пересекает диагональ AC
в точке E
, отличной от A
. Докажите, что \angle AED=\angle PEB
.
Решение. Рассмотрим случай, когда \angle BAC\leqslant90^{\circ}
.
Пусть прямые DE
и BC
пересекаются в точке L
. Тогда
\angle PDL=\angle BDE=\angle BAE=\angle DCE=\angle PCL,
поэтому четырёхугольник CDPL
вписанный. Значит,
\angle PLE=\angle PLD=\angle PCD=\angle LCA=\angle BCA=\angle CAD=\angle DBE=\angle PBE.
Тогда четырёхугольник BPEL
тоже вписанный. Следовательно,
\angle PEB=\angle PLB=180^{\circ}-\angle CLP=\angle PDC=\angle BDC=\angle ABD=\angle DEA.
Если \angle BAC\gt\angle90^{\circ}
, решение аналогично.
Автор: Джукич Д.
Источник: Сербские математические олимпиады. — 2012, первый день, задача 1