17785. Вписанная окружность касается сторон BC
, CA
и BC
треугольника ABC
в точках D
, E
и F
соответственно. Q
— отличная от D
точка пересечения окружности с прямой AD
. Докажите, что прямая EQ
проходит через середину отрезка AF
тогда и только тогда, когда AC=BC
.
Решение. Пусть M
— точка пересечения прямой EQ
со стороной AB
, углы треугольника ABC
при вершинах A
, B
и C
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, а \angle DQE=\varphi
. По теореме об угле между касательно хордой и учитывая равенство CE=CD
, получаем
\varphi=\angle AQM=\angle DQE=\angle DEC=\angle CDE=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}=\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}.
По теореме о касательной и секущей MF^{2}=MQ\cdot ME
. Значит,
AC=BC~\Leftrightarrow~AM^{2}=MQ\cdot ME~\Leftrightarrow~\frac{AM}{MQ}=\frac{ME}{AM}.
Последнее равенство равносильно подобию треугольников AMQ
и EMA
с общим углом при вершине Q
.
Таким образом,
AM=MF~\Leftrightarrow~AM^{2}=MF^{2}~\Leftrightarrow~AM^{2}=MQ\cdot ME~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{AM}{MQ}=\frac{ME}{AM}~\Leftrightarrow~\angle AQM=\angle EAM~\Leftrightarrow~\varphi=\alpha~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}=\alpha~\Leftrightarrow~\beta=\alpha~\Leftrightarrow~AC=BC.
Что и требовалось доказать.
Источник: Иберо-американская математическая олимпиада. — 1998, задача A2