17789. В треугольнике ABC
проведена его биссектриса BD
. Точки E
и F
— проекции точек соответственно A
и C
на прямую BD
, а M
— проекция точки D
на прямую BC
. Докажите, что \angle DME=\angle DMF
.
Решение. Пусть H
— проекция точки D
на прямую AB
. Из точек H
и E
отрезок AD
виден под прямым углом, поэтому четырёхугольник AHED
вписанный. Тогда \angle DAE=\angle DAE
. Точки A
и M
симметричны относительно биссектрисы DM
, поэтому \angle DME=\angle DAE
.
Прямые AE
и CF
параллельны, так как они перпендикулярны одной и той же прямой BD
. Тогда \angle DAE=\angle CDF
. Из точек M
и F
отрезок CD
виден под прямым углам, поэтому четырёхугольник DMCF
вписанный. Следовательно, \angle DME=\angle DMF
. Что и требовалось доказать.
Источник: Иберо-американская математическая олимпиада. — 2002, задача B1