17793. Дан треугольник ABC
, в котором \angle ACB=3\angle BAC
, BC=5
и AB=11
. Найдите AC
.
Ответ. \frac{24}{\sqrt{5}}
.
Решение. Положим \angle BAC=\alpha
, \angle ACB=3\alpha
. От луча CA
в полуплоскости, содержащей точку B
, отложим угол ACD
, равный \alpha
. Пусть точка D
лежит на AB
. Тогда треугольник ADC
равнобедренный, CD=AD
, а так как по теореме о внешнем угле треугольника \angle BDC=2\alpha=\angle BCD
, то треугольник BCD
тоже равнобедренный, BD=BC=5
.
По теореме косинусов из треугольника BDC
находим
\cos\angle DBC=\frac{5^{2}+5^{2}-6^{2}}{2\cdot5\cdot5}=\frac{7}{25}.
Значит,
AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cos\angle ABC=11^{2}+5^{2}-2\cdot11\cdot5\cdot\frac{7}{25}=
=146-\frac{154}{5}=\frac{576}{5}
Следовательно, AC=\frac{24}{\sqrt{5}}
.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2002, задача 14