17795. На сторонах AB
и BC
прямоугольника ABCD
отметили точки X
и Y
соответственно. Оказалось, что площади треугольников AXD
, BXY
и DYC
равны 5, 4 и 3 соответственно. Найдите площадь треугольника DXY
.
Ответ. 2\sqrt{21}
.
Решение. Обозначим AX=a
, BX=b
. Тогда
5=\frac{1}{2}a\cdot AD~\mbox{и}~4=\frac{1}{2}b\cdot BY,
поэтому
AD=\frac{10}{a}~\mbox{и}~BY=\frac{8}{b}.
Пусть \frac{b}{a}=k
. Тогда
S_{ABCD}=AD\cdot AB=\frac{10}{a}(a+b)=10+10k,
S_{\triangle DXY}=(10+10k)-5-4-3=10k-2.
Из треугольника DYC
получаем
6=DC\cdot CY=DC\cdot(BC-BY)=(a+b)\left(\frac{10}{a}-\frac{8}{b}\right)=2+10k-\frac{8}{k}.
Значит,
5k^{2}-2k-4=0.
Условию задачи удовлетворяет только положительный корень этого уравнения, т. е. k=\frac{1+\sqrt{21}}{5}
. Следовательно,
S_{\triangle DXY}=10k-2=2\sqrt{21}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2003, задача 15