17798. Дан треугольник ABC
, в котором \angle ABC=90^{\circ}
, \angle ACB=70^{\circ}
и BC=2
. Высоты, проведённые из вершин B
и пересекаются в точке H
. Найдите AH
.
Ответ. 2\sqrt{3}
.
Решение. Первый способ. Заметим, что
\angle HBC=20^{\circ},~\angle HCB=10^{\circ}~\angle BHC=150^{\circ},~\angle ABH=\angle ACH=60^{\circ}.
По теореме синусов из треугольника BHC
получаем
\frac{BC}{\sin150^{\circ}}=\frac{BH}{\sin150^{\circ}}~\Rightarrow~BH=\frac{BC\sin10^{\circ}}{\sin150^{\circ}}=4\sin10^{\circ}.
По теореме синусов из треугольника BHC
получаем
\frac{BC}{\sin150^{\circ}}=\frac{BH}{\sin150^{\circ}}~\Rightarrow~BH=\frac{BC\sin10^{\circ}}{\sin150^{\circ}}=4\sin10^{\circ}.
По теореме синусов из треугольника ABH
находим, что
\frac{AH}{\sin60^{\circ}}=\frac{BH}{\sin10^{\circ}}~\Rightarrow~AH=\frac{BH\sin60^{\circ}}{\sin10^{\circ}}=\frac{4\sin10^{\circ}\cdot\sin60^{\circ}}{\sin10^{\circ}}=4\sin60^{\circ}=2\sqrt{3}.
Второй способ. Проведём диаметр BD
описанной окружности треугольника ABC
. Тогда \angle BCD=\angle HAD=90^{\circ}
, поэтому AH\parallel CD
и CH\parallel AD
. Значит, ADCH
— параллелограмм. По теореме синусов
BD=\frac{BC}{\sin\angle BAC}=\frac{2}{\sin30^{\circ}}=4.
Следовательно,
AD=CD=\sqrt{BD^{2}-BC^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2\sqrt{3}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2003, задача 17