17799. Точка D
лежит внутри треугольника ABC
, причём AB=DC
, \angle DCA=24^{\circ}
, \angle DAC=31^{\circ}
и \angle ABC=55^{\circ}
. Найдите \angle DAB
.
Ответ. 63^{\circ}
.
Решение. Достроим треугольник ABC
до параллелограмма ABCE
. Поскольку
\angle AEC=\angle ABC=55^{\circ}~\mbox{и}~\angle ADC=180^{\circ}-31^{\circ}-24^{\circ}=125^{\circ},
то
\angle AEC+\angle ADC=180^{\circ},
поэтому четырёхугольник ADCE
вписанный.
Поскольку EC=AB=DC
, то
\angle CDE=\angle CED=\angle CAD=31^{\circ}.
Из треугольника CDE
, получаем
\angle ACE=180^{\circ}-31^{\circ}-31^{\circ}-24^{\circ}=94^{\circ}.
Следовательно,
\angle DAB=\angle BAC-31^{\circ}=\angle ACE-31^{\circ}=94^{\circ}-31^{\circ}=63^{\circ}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2004, задача 7