17803. Дан четырёхугольник ABCD
, в котором BC=CD=DA=1
, \angle DAB=135^{\circ}
и \angle ABC=75^{\circ}
. Найдите AB
.
Ответ. \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}
.
Решение. Докажем, что AC=1
. Предположим, AC\gt1
. Рассмотрим треугольник ADC
. Поскольку против большей стороны треугольника лежит больший угол, \angle DAC\lt60^{\circ}
, поэтому в треугольнике ABC
имеем \angle BAC\lt75^{\circ}
. Тогда
\angle DAB=\angle DAC+\angle BAC\lt60^{\circ}+75^{\circ}=135^{\circ},
что противоречит условию задачи. Аналогично для предположения, что AC\lt1
. Таким образом, CA=CB=1
и \angle CAB=\angle ABC=75^{\circ}
.
Из равнобедренного треугольника ABC
получаем
AB=2AC\cos75^{\circ}=2\cos75^{\circ}=2\cos(45^{\circ}+30^{\circ})=
=2(\cos45^{\circ}\cos30^{\circ}-\sin45^{\circ}\sin30^{\circ})=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2006, задача 4