17806. Дан параллелограмм ABCD
с тупым углом при вершине D
. Точки M
и N
— основания перпендикуляров, опущенных из вершины D
на AB
и BC
соответственно. Найдите DM+DN
.
Ответ. 88.
Решение. Поскольку треугольник BCD
равнобедренный, точка N
— середина стороны BC
, а N
— катет прямоугольного треугольника BND
. Значит,
DN=\sqrt{BD^{2}-BN^{2}}=\sqrt{50^{2}-30^{2}}=40.
Записав двумя способами площадь параллелограмма ABCD
, получим
AB\cdot DM=BC\cdot DN~\Rightarrow~DM=\frac{BC\cdot DN}{AB}=\frac{60\cdot40}{50}=48.
Следовательно,
DM+DN=48+40=88.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2007, задача 3