17807. Площадь треугольника ABC
равна 1. Точки E
и F
лежат на сторонах AB
и AC
соответственно, причём EF\parallel BC
. Найдите площадь треугольника EFC
, если треугольники AEF
и BEC
равновелики.
Ответ. \sqrt{5}-2
.
Решение. Пусть AH
, AP
и EQ
— высоты треугольников ABC
, AEF
и BEC
соответственно, а k
— коэффициент подобия треугольников AEF
и ABC
. Тогда
AP=kAH,~(1-k)AH,~S_{\triangle BEC}=S_{\triangle AEF}=k^{2}S_{\triangle ABC}=k^{2}.
В то же время,
S_{\triangle BEC}=(1-k)S_{\triangle ABC}=1-k.
Из уравнения k^{2}=12-k
, учитывая, что k\gt0
, получим k=\sqrt{5}-2
.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2007, задача 5