17808. Дан квадрат со стороной 9. Точка P
лежит на стороне AB
, причём AP:PB=7:2
. С центром в точке C
и радиусом CB
проведена дуга окружности, содержащаяся внутри квадрата. Касательная к этой дуге окружности, проведённая из точки P
, пересекает сторону AD
в точке Q
и касается окружности в точке E
. Отрезки CE
и DB
пересекаются в точке K
, а отрезки AK
и PQ
— в точке M
. Найдите AM
.
Ответ. \frac{85}{22}
.
Решение. Обозначим QD=QE=x
. Поскольку PE=PB=2
, то
PQ=x+2,~AQ=9-x.
По теореме Пифагора
AQ^{2}+AP^{2}=PQ^{2},~\mbox{или}~(9-x)^{2}+7^{2}=(x+2)^{2}~\Rightarrow~x=\frac{63}{11}.
Из точек B
и E
отрезок CP
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром CP
. Четырёхугольник CEPB
вписанный, поэтому
\angle MPA=180^{\circ}-\angle BPE=\angle KCB=\angle KAB
(последнее равенство следует из симметрии относительно диагонали BD
квадрата). Значит,
\angle AQP=90^{\circ}-\angle APQ=90^{\circ}-\angle MPA=90^{\circ}-\angle MAP=\angle QMA,
поэтому QM=AM=MP
. Следовательно,
AM=\frac{1}{2}PQ=\frac{1}{2}(x+2)=\frac{1}{2}\left(\frac{63}{11}+2\right)=\frac{85}{22}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2007, часть A, задача 14,