17811. Дан треугольник ABC
со сторонами AB=13
, BC=14
и CA=15
. Точка P
лежит внутри треугольника ABC
, причём \angle PAB=\angle PBC=\angle PCA
. Найдите тангенс угла PAB
.
Ответ. \frac{168}{295}
.
Решение. Обозначим \angle PAB=\angle PBC=\angle PCA=x
, PA=a
, PB=b
, PC=c
. Пусть площадь треугольника ABC
равна S
. По формуле Герона
S=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84.
В то же время,
84=S=\frac{1}{2}\cdot13a\sin x+\frac{1}{2}\cdot14b\sin x+\frac{1}{2}\cdot15c\sin x,
откуда
(13a+14b+15c)\sin x=168~\Rightarrow~\sin x=\frac{168}{13a+14b+15c}.
По теореме косинусов из треугольников PAB
, PBC
и PCA
получаем
b^{2}=a^{2}+13^{2}-2\cdot13a\cos x,
c^{2}=b^{2}+14^{2}-2\cdot14b\cos x,
a^{2}=c^{2}+15^{2}-2\cdot135\cos x.
Сложив эти три равенства, после очевидных упрощений получим
2(13a+14b+15c)\cos x=13^{2}+14^{2}+15^{2}.
Следовательно,
\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{168}{13a+14b+15c}\cdot\frac{2(13a+14b+15c)}{13^{2}+14^{2}+15^{2}}=\frac{168}{295}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2008, задача 18