17812. Дан пятиугольник ABCDE
, в котором AB=BC=CD=DE
, \angle B=96^{\circ}
и \angle C=\angle D=108^{\circ}
Найдите \angle E
.
Ответ. 102^{\circ}
.
Решение. Треугольники BCD
и CDE
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому
\angle PBC=\angle PED=\angle PCD=\angle PDC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-108^{\circ})36^{\circ}.
Значит,
\angle BCP=108^{\circ}-36^{\circ}=72^{\circ}~\Rightarrow~\angle BPC=180^{\circ}-36^{\circ}-72^{\circ}=72^{\circ}=\angle BCP.
Тогда треугольник BCP
равнобедренный, BP=BC=AB
, поэтому
\angle ABP=96^{\circ}-36^{\circ}=60^{\circ}.
Значит, равнобедренный треугольник ABP
— равносторонний. Тогда AP=PE
. Аналогично, AP=PE
, а так как
\angle BPE=\angle180^{\circ}-72^{\circ}=108^{\circ},
то
\angle APE=108^{\circ}-60^{\circ}=48^{\circ}~\Rightarrow~\angle AEP=\frac{1}{2}(180^{\circ}-48^{\circ})=66^{\circ}.
Следовательно,
\angle E=\angle AED=66^{\circ}+36^{\circ}=102^{\circ}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2009, задача 4