17813. Дан треугольник ABC
, в котором AB=AC=13
и BC=10
. На отрезке BC
отмечена точка P
, причём BP\lt PC
, а K
и H
— ортоцентры треугольников APB
и APC
соответственно. Найдите PC
, если HK=2
.
Ответ. \frac{27}{5}
Решение. Пусть M
— середина BC
. Заметим, что точки H
и K
лежат на прямой AM
, а так как угол APB
тупой, то точка M
лежит между K
и H
.
Пусть прямые PK
и AB
пересекаются в точке L
. Тогда PL\perp AB
, поэтому
\angle HKP=\angle AKL=90^{\circ}-\angle MAL=90^{\circ}-\angle MAB=\angle ABC.
Пусть прямые PH
и AC
пересекаются в точке N
. Тогда PN\perp AC
, поэтому
\angle KHP=\angle AHN=90^{\circ}-\angle HAN=90^{\circ}-\angle MAC=\angle ACB.
Значит, треугольники PKH
и ABC
подобны по двум углам. Тогда
\frac{PM}{AM}=\frac{HK}{BC}~\Rightarrow~AM\cdot\frac{HK}{BC}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}\cdot\frac{2}{10}=12\cdot\frac{1}{5}=\frac{12}{5}.
Следовательно,
PC=PM+MC=\frac{12}{5}+5=\frac{37}{5}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2009, задача 6