17815. Дан квадрат ABCD
со стороной 1. Точки X
и Y
лежат на сторонах BC
и CD
соответственно, причём CX=CY=m
. Прямые AB
и DX
пересекаются в точке P
, прямые AD
и BY
— в точке Q
, прямые AX
и DC
— в точке R
, прямые AY
и BC
— в точке S
. Найдите m
, если известно, что точки P
, Q
, R
, S
лежат на одной прямой.
Ответ. \frac{3-\sqrt{5}}{2}
.
Решение. Обозначим CR=CS=n
и DQ=k
.
Треугольники RCX
и RDA
подобны, поэтому
\frac{n}{m}=\frac{n+1}{1}~\Rightarrow~n=\frac{m}{1-m}.
Треугольники QDY
и QAB
подобны, поэтому
\frac{k}{1-m}=\frac{k+1}{1}~\Rightarrow~k=\frac{1-m}{m}.
Треугольники RCS
и RDQ
подобны, поэтому
\frac{n}{k}=\frac{n}{n+1}~\Rightarrow~k=n+1.
Сложив первые два из этих равенств, получим
n+k=\frac{m}{1-m}+\frac{1-m}{m},
а так как
\frac{1-m}{m}=k=n+1=\frac{m}{1-m}+1,
то получаем уравнение
\frac{1-m}{m}=\frac{m}{1-m}+1,
из которого, учитывая, что 0\lt m\lt1
, находим, что m=\frac{3-\sqrt{5}}{2}
.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2009, задача 8