17817. Дан треугольник ABC
, в котором \angle A=90^{\circ}
и \angle B=\angle C=45^{\circ}
. Точка P
лежит на стороне BC
, а Q
и R
— описанные окружности треугольников APB
и APC
соответственно. Найдите PC
, если BP=\sqrt{2}
и QR=2
.
Ответ. \sqrt{6}
.
Решение. При повороте на 45^{\circ}
вокруг точки A
, переводящем вершину B
в C
, точка P
переходит в некоторую точку P'
, треугольник APB
— в равный ему треугольник AP'C
. Поскольку
\angle AP'C+\angle APC=\angle APB+\angle APC=180^{\circ},
четырёхугольник APCP'
вписанный. Центр Q
описанной окружности треугольника APB
переходит в центр R
описанной окружности равного ему треугольника AP'C
, т. е. в центр описанной окружности четырёхугольника APCP'
. Значит, треугольник QAR
прямоугольный (с прямым углом при вершине A
) и равнобедренный, PR=AR=AQ=\sqrt{2}
как радиусы описанной окружности треугольника APB
, а так как
\angle ARQ=2\angle ACP=90^{\circ}
(центральный угол вдвое больше соответствующего вписанного), то AQPR
— квадрат с диагоналями AP=QR=2
.
Обозначим AB=AC=x
. По теореме косинусов из треугольника ABP
получаем
x^{2}+(\sqrt{2})^{2}-2x\cdot\sqrt{2}=2^{2},~\mbox{или}~x^{2}-2x-2=0.
Условию задачи удовлетворяет положительный корень этого уравнения x=1+\sqrt{3}
. Следовательно,
PC=BC-BP=x\sqrt{2}-\sqrt{2}=(1+\sqrt{3})\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{2}=\sqrt{6}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2009, задача 18