17818. Точки P
и Q
— середины сторон соответственно AB
и BC
прямоугольника ABC
. Отрезки AQ
и CP
пересекаются в точке R
. Найдите площадь прямоугольника ABCD
, если AC=6
и \angle ARC=150^{\circ}
.
Ответ. 8\sqrt{3}
.
Решение. Пусть S
— середина диагонали AC
данного прямоугольника. Тогда R
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, а так как
BS=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}AC=3,
то
BR=\frac{2}{3}BS=2,~SR=\frac{1}{3}BS=1.
Обозначим AR=x
и CR=y
. Тогда
S_{\triangle ARC}=\frac{1}{2}xy\sin150^{\circ}=\frac{1}{4}xy~\Rightarrow~S_{\triangle ABC}=3S_{\triangle ARC}=\frac{3}{4}xy~\Rightarrow
\Rightarrow~S_{ABCD}=2S_{\triangle ABC}=\frac{3}{2}xy.
По теореме косинусов из треугольников ARC
, ARS
и CRS
, учитывая, что \cos\angle RSA=-\cos\angle RSC
, получаем
36=x^{2}+y^{2}-2xy\sin150^{\circ}=
=(3^{2}+1^{2}-2\cdot3\cdot1\cos\angle RSA)+(3^{2}+1^{2}-2\cdot3\cdot1\cos\angle RSC)+xy\sqrt{3}=
=20+xy\sqrt{3}~\Rightarrow xy=\frac{16}{\sqrt{3}}.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{3}{2}xy=\frac{3}{2}\cdot\frac{16}{\sqrt{3}}=8\sqrt{3}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2010, задача 17