17819. Дан треугольник ABC
, в котором BC=5
, AC=4
и \cos(\angle A-\angle B)=\frac{7}{8}
. Найдите \cos\angle C
.
Ответ. \frac{11}{16}
.
Решение. Отметим на стороне BC
точку D
, для которой DA=DB
. Тогда
\angle DAC=\angle BAC-\angle BAD=\angle BAC-\angle ABC~\Rightarrow
\Rightarrow~\cos\angle DAC=\cos(\angle A-\cos\angle B)=\frac{7}{8}.
Обозначим DA=DB=x
. Тогда DC=5-x
. По теореме косинусов из треугольника DAC
получаем
(5-x)^{2}=x^{2}+4^{2}-2x\cdot4\cdot\frac{7}{8},
откуда x=3
. Тогда DA=3
и DC=2
. Следовательно,
\cos\angle C=\frac{AC^{2}+CD^{2}-AD^{2}}{2AC\cdot CD}=\frac{4^{2}+2^{2}-3^{2}}{2\cdot4\cdot2}=\frac{11}{16}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2011, задача 8