17825. Дан треугольник ABC
, в котором \angle C=90^{\circ}
, \angle BAC\lt45^{\circ}
и AB=7
. Точка P
лежит на стороне AB
, причём \angle APC=2\angle ACP
и CP=1
. Найдите отношение \frac{AP}{BP}
.
Ответ. 6+\sqrt{35}
.
Решение. Пусть O
— середина AB
. Тогда O
— центр описанной окружности прямоугольного треугольника ABC
. Пусть луч CP
пересекает окружность в точке D
. Заметим, что точка P
лежит между B
и O
(если P
между O
и A
, то \angle ACP\lt45^{\circ}
, а угол APC
тупой, что противоречит условию \angle APC=2\angle ACP
).
Обозначим \angle ACP=\theta
. Тогда
\angle DPB=\angle APC=2\angle ACP=2\theta~\mbox{и}~\angle AOD=2\theta,
поэтому треугольник ODP
равнобедренный,
DP=DO=\frac{1}{2}AB=\frac{7}{2}.
По теореме о произведении пересекающихся хорд
PA\cdot PB=PC\cdot PD,~\mbox{или}~PA\cdot(7-PA)=1,
откуда PA=\frac{7\pm\sqrt{35}}{2}
. Условию задачи удовлетворяет только больший корень PA=\frac{7+\sqrt{35}}{2}
, так как только в этом случае точка P
лежит между B
и O
. Следовательно,
\frac{AP}{BP}=\frac{\frac{7+\sqrt{35}}{2}}{\frac{7-\sqrt{35}}{2}}=6+\sqrt{35}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2012, задача 17