17828. Точка I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Известно, что BC=AC+AI
и \angle ABC-\angle ACB=13^{\circ}
. Найдите \angle BAC
.
Ответ. 96{,}5^{\circ}
.
Решение. Обозначим углы треугольника ABC
при вершинах A
, B
и C
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. По условию \beta-\gamma=13^{\circ}
.
На продолжении стороны AC
за точку A
отложим отрезок AD=AI
. Тогда CAI
— внешний угол равнобедренного треугольника DAI
, поэтому
\angle ADI=\frac{1}{2}\angle CAI=\frac{\alpha}{4}~\Rightarrow~\beta=\frac{\alpha}{2}.
Кроме того,
CD=CA+AD=CA+AI=BC.
Треугольники CID
и CIB
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому
\angle CBI=\angle CDI=\angle ADI=\frac{\alpha}{4}.
Значит,
13^{\circ}=\beta-\gamma=\frac{\alpha}{2}-\left(180^{\circ}-\alpha-\beta\right)=\frac{\alpha}{2}-\left(180^{\circ}-\alpha-\frac{\alpha}{2}\right)=2\alpha-180^{\circ}.
Следовательно,
\angle BAX=\alpha=\frac{1}{2}(13^{\circ}+180^{\circ})=\frac{1}{2}\cdot193^{\circ}=96{,}5^{\circ}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2013, задача 15