1783. Даны четыре точки A
, B
, C
и D
. Докажите, что AD\leqslant AB+BC+CD
.
Решение. Известно, что для любых трёх точек X
, Y
и Z
верно неравенство XZ\leqslant XY+YZ
, поэтому
AD\leqslant AC+CD\leqslant(AB+BC)+CD=AB+BC+CD.
Заметим, что AD=AB+BC+CD
тогда и только тогда, когда точки A
, B
, C
и D
последовательно расположены на одной прямой.
Источник: Шень А. Х. Геометрия в задачах. — М.: МЦНМО, 2013. — № 47, с. 18