17831. Две параллельные хорды окружности равны 24 и 36, а расстояние между ними равно 14. Найдите третью хорду, параллельную первым двум и равноудалённую от них.
Ответ. 2\sqrt{49}
.
Решение. Пусть радиус окружности равен R
, а расстояния от третьей хорды до первых двух равны x
и y
соответственно (x\gt y
). Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит её пополам (см. 1676). По теореме Пифагора
12^{2}+x^{2}=R^{2}~\mbox{и}~16^{2}+y^{2}=R^{2}.
Вычитая из первого равенства второе, получаем
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)=112.
Если концы двух данных хорд лежат на одной полуокружности, то
x-y=14~\Rightarrow~x+y=\frac{112}{14}=8~y=-3.
Этот случае невозможен.
Если концы двух данных хорд лежат на разных полуокружностях, то
x+y=14~\Rightarrow~x-y=8,
откуда x=11
и y=3
. Значит,
R=\sqrt{16^{2}+3^{2}}=\sqrt{265}.
В этом случае третья хорда расположена на расстоянии \frac{11-3}{2}=4
от центра окружности. Следовательно, по теореме Пифагора эта хорда равна
1\cdot\sqrt{(\sqrt{265})^{2}-4^{2}}=2\sqrt{249}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2014, задача 6