17832. Дан треугольник ABC
, в котором \tg\angle CAB=\frac{22}{7}
, а высота, проведённая из вершины A
разбивает сторону BC
на отрезки, равные 3 и 17. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. 110.
Решение. Пусть AD
— высота треугольника ABC
. Обозначим AD=x
, \angle BAD=\beta
и \angle CAD=\gamma
. Тогда
\frac{22}{7}=\tg(\beta+\gamma)=\frac{\tg\beta+\tg\gamma}{1-\tg\beta\tg\gamma}=\frac{\frac{3}{x}+\frac{17}{x}}{1-\frac{3}{x}\cdot\frac{17}{x}}=\frac{20x}{x^{2}-51}.
После очевидных упрощений получаем уравнение
11x^{2}-70x-561=0~\Leftrightarrow~(x-11)(11x+51)=0.
Условию задачи удовлетворяет единственный положительных корень x=11
этого уравнения. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot20\cdot11=110.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2014, задача 7