17833. Дан равнобедренный треугольник ABC
с боковыми сторонами AB=AC
. Точка P
лежит внутри него, причём \angle BCP=30^{\circ}
, \angle APB=150^{\circ}
и \angle CAP=39^{\circ}
. Найдите \angle BAP
.
Ответ. 13^{\circ}
.
Решение. Пусть D
— центр описанной окружности треугольника BPC
. Центральный угол BDP
вдвое больше соответствующего вписанного угла BCP
, т. е.
\angle BDP=2\angle BCP=2\cdot30^{\circ}=60^{\circ},
а так как DB=DC
(как радиус окружности), то равнобедренный треугольник BDP
— равносторонний. Тогда
\angle APD=360^{\circ}-360^{\circ}-150^{\circ}-60^{\circ}=150^{\circ}=\angle APB.
Значит, треугольники APB
и APD
равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда \angle BAP=\angle DAP
, а из равенств
AD=AB=AC~\mbox{и}~DB=DC
следует, что треугольники ABD
и ACD
равны по трём сторонам. Значит, \angle BAD=\angle CAD
, а так как ранее установлено, что \angle BAP=\angle DAP
, то
\angle BAP=\frac{1}{3}\angle CAP=\frac{1}{3}\cdot39^{\circ}=13^{\circ}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2014, задача 7