17834. Точки A
и C
лежат на окружности радиуса \sqrt{50}
. Внутри окружности лежит точка B
, причём \angle ABC=90^{\circ}
. Известно, что AB=6
и BC=2
. Найдите расстояние от точки B
до центра окружности.
Ответ. \sqrt{26}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, а D
— середина хорды AC
. Тогда OD\perp AC
(см. задачу 1677). По теореме Пифагора
AC=\sqrt{6^{2}+2^{2}}=2\sqrt{10}~\Rightarrow~QD=\frac{1}{2}AC=\sqrt{10}.
Тогда
OD=\sqrt{(\sqrt{50})^{2}-(\sqrt{10})^{2}}=2\sqrt{10}.
Далее получаем
\cos OAB=\cos(\angle OAD-\angle BAC)=\cos\angle OAD\cos\angle BAC+\sin\angle OAD\sin\angle BAC=
=\frac{AD}{OA}\cdot\frac{AB}{AC}+\frac{OD}{OA}\cdot\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{50}}\cdot\frac{6}{2\sqrt{10}}+\frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{50}}\cdot\frac{2}{2\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Следовательно, по теореме косинусов
OB=\sqrt{AO^{2}+AB^{2}-2AO\cdot AB\cos\angle OAB}=\sqrt{50+36-2\cdot\sqrt{50}\cdot6\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}}=\sqrt{26}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2014, задача 10