17835. Сторона квадрата ABCD
равна 1234. Точка E
лежит на стороне CD
, причём CEFG
— квадрат со стороной 576, расположенный вне квадрата ABCD
. Описанная окружность треугольника ACF
вторично пересекает сторону BC
в точке H
. Найдите CH
.
Ответ. 667.
Решение. Заметим, что прямые BD
и EG
— серединные перпендикуляры к сторонам CF
и AC
треугольника ACF
, поэтому прямые BD
и EG
пересекаются в центре O
описанной окружности этого треугольника. Углы, прилежащие к стороне BG
треугольника BOG
, равны 45^{\circ}
, поэтому треугольник BOG
равнобедренный и прямоугольный. Его высота OM
является медианой. Значит, BM=GM
.
В то же время M
— середина отрезка CM
(см. задачу 1676). Следовательно,
CH=BC-BH=BC-CG=1234-576=667.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2015, задача 2