17837. Дана трапеция с основаниями AB
и CD
. Точка P
лежит на основании AB
, а окружность с центром P
касается BC
и AC
. Найдите произведение AP\cdot PB
, если AB=42
, BC=20
и DA=15
.
Ответ. 432.
Решение. Пусть r
— радиус окружности, E
и F
— точки касания со сторонами AD
и BC
соответственно, а высота трапеции равна h
. Записав удвоенные площади треугольников APD
и BPF
, получим
PA\cdot h=15r,~PB\cdot h=20r~\Rightarrow~\frac{PA}{PB}=\frac{15r}{20r}=\frac{3}{4}~\Rightarrow~PA=\frac{3}{4}PB,
а так как PA+PB=AB=42
, то
\frac{3}{4}PB+PB=42~\Rightarrow~\frac{7}{4}PB=42~\Rightarrow~PB=24,~PA=18.
Следовательно,
AP\cdot PB=18\cdot24=432.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2015, задача 5