17841. Дан треугольник ABC
, в котором AB+BC=2AC
и \angle A=\angle C+90^{\circ}
. Найдите \cos\angle B
.
Ответ. \frac{3}{4}
.
Решение. Пусть углы данного треугольника ABC
, противолежащие сторонам BC=a
, CA=b
и AB=c
, равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, а R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
. По теореме синусов
a=2R\sin\alpha,~b=2R\sin\beta,~c=2R\sin\gamma,
поэтому равенство a+c=2b
можно переписать в виде
2R\sin\alpha+2R\sin\gamma=2\cdot2R\sin\beta,~\mbox{или}~\sin\alpha+\sin\gamma=2\sin\beta~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2\sin\frac{\alpha+\gamma}{2}\cos\frac{\alpha-\gamma}{2}=2\cdot2\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}\Leftrightarrow~\sin45^{\circ}\sin\frac{\beta}{2}=2\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2},
а так как \cos\frac{\beta}{2}\ne0
(иначе, \alpha+\beta+\gamma\gt180^{\circ}
), то получаем равенство
\sin\frac{\beta}{2}=\frac{1}{2\sqrt{2}},
откуда находим, что
\cos\beta=1-2\sin^{2}\frac{\beta}{2}=1-2\cdot\frac{1}{8}=\frac{3}{4}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2016, задача 16