17843. Дан четырёхугольник ABCD
, в котором \angle BAD=\angle ADC
и \angle ABD=\angle BCD
. Найдите CD
, если AB=8
, BD=10
и BC=6
.
Ответ. \frac{64}{5}
.
Решение. Пусть прямые AB
и CD
пересекаются в точке P
. Обозначим
\angle ABD=\angle BCD=\beta,~\angle APD=\gamma.
Поскольку BCD
— внешний угол треугольника BCP
, а ABD
— внешний угол треугольника DPB
, то
\angle CBP=\angle BCD-\angle BPC=\beta-\gamma=\angle ABD-\angle\angle BPC=\angle BDC.
Значит, треугольники PBC
и PDB
с общим углом при вершине P
подобны по двум углам. Тогда
\frac{PB}{PD}=\frac{BC}{DB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5},
а так как
PA=PD,~PB=PA-AB=PD-8=\frac{5}{3}PB-8~\Rightarrow
\Rightarrow~PB=12~\Rightarrow~PD=AB=AB+PB=8+12=20.
Из того же подобия
\frac{PC}{PB}=\frac{PB}{PD}=\frac{PB}{PA}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}~\Rightarrow~PC=\frac{3}{5}PB=\frac{4}{5}\cdot12=\frac{36}{5}.
Следовательно,
CD=PD-PC=20-\frac{36}{5}=\frac{64}{5}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2017, задача 9