1785. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит прямой угол на два неравных угла. Докажите, что катет, прилежащий к меньшему из них, меньше другого катета.
Указание. Если CD
— высота прямоугольного треугольника ABC
, проведённая к гипотенузе AB
, то \angle ACD=\angle ABC
и \angle BCD=\angle BAC
.
Решение. Если CD
— высота прямоугольного треугольника ABC
, проведённая к гипотенузе AB
, то
\angle ACD=\angle ABC,~\angle BCD=\angle BAC.
Пусть \angle ACD\gt\angle BCD
. Тогда \angle ABC\gt\angle BAC
, а так как против большего угла треугольника ABC
лежит большая сторона, то AC\gt BC
.