17850. Дан треугольник ABC
, в котором AB\lt AC
, AH
— высота, H
— ортоцентр. Найдите BD
, если AH=4
, HD=3
и BC=12
.
Ответ. 6-\sqrt{15}
.
Решение. Поскольку
\angle HDB=\angle CDA=90^{\circ}~\mbox{и}~\angle HBD=90^{\circ}-\angle ACB=\angle CAD,
то прямоугольные треугольники BDH
и ADC
подобны, поэтому
\frac{HD}{BD}=\frac{CD}{AD}~\Rightarrow~BD\cdot CD=3(3+4)=21,
а так как BD+CD=12
, то BD
и CD
— корни квадратного уравнения x^{2}-12x+21=0
. По условию AB\lt AC
, поэтому BD\lt CD
. Следовательно, отрезок BD
равен меньшему корню уравнения, т. е.
BD=6-\sqrt{15}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2019, задача 6