17852. Точки A
, B
и C
лежат на окружности, а точки P
и Q
— на хорде AB
. Лучи CP
и CQ
пересекают окружность в точках S
и T
соответственно. Найдите ST
, если AP=2
, AQ=7
и BT=2
.
Ответ. \frac{25}{4}
.
Решение. Обозначим \angle ACS=\alpha
, \angle TCS=\beta
, \angle APC=\gamma
, а R
— радиус окружности. По теореме синусов
\frac{AS}{\sin\alpha}=\frac{5}{\sin\alpha}=2R=\frac{ST}{\sin\beta}~\Rightarrow~ST=5\cdot\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}.
Далее получаем
\frac{5}{2}=\frac{QP}{AP}=\frac{S_{\triangle QPC}}{S_{\triangle ACP}}=\frac{\frac{1}{2}QC\cdot CP\sin\beta}{\frac{1}{2}AC\cdot CP\sin\alpha}=\frac{QC\sin\beta}{AC\sin\alpha}.
Из подобия треугольников QCA
и QBT
получаем
\frac{AC}{CQ}=\frac{TB}{BQ}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
По теореме синусов из треугольников ACP
и QCP
получаем
\frac{2}{\sin\alpha}=\frac{AC}{\sin\gamma}~\mbox{и}~\frac{5}{\sin\beta}=\frac{CQ}{\sin(180^{\circ}-\gamma)}=\frac{CQ}{\sin\gamma},
откуда
\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{AC}{CQ}=\frac{5}{4},
Следовательно,
ST=5\cdot\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=5\cdot\frac{5}{4}=\frac{25}{4}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2019, задача 13