17857. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
со сторонами AB=a
, BC=b
, CD=c
и углами \angle ABC=120^{\circ}
и \angle ABD=30^{\circ}
. Докажите, что:
а) c\geqslant a+b
;
б) |\sqrt{c+a}-\sqrt{c+b}|=\sqrt{c-a-b}
.
Решение. а) По теореме косинусов из треугольника ABC
получаем
AC^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos120^{\circ}=a^{2}+b^{2}+ab.
Заметим, что
\angle DAC=\angle DBC=120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}.
Тогда
c^{2}=CD^{2}=\frac{AC^{2}}{\cos^{2}30^{\circ}}=\frac{4}{3}(a^{2}+b^{2}+ab).\eqno(1)
Значит,
c^{2}-(a+b)^{2}=\frac{4}{3}(a^{2}+b^{2}+ab)-(a^{2}+b^{2}+2ab)=\frac{(a-b)^{2}}{3}\geqslant0.
Следовательно, c\geqslant a+b
. Утверждение пункта а) доказано.
б) Рассмотрим произведение
Q=(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha-\beta-\gamma)(\alpha+\beta-\gamma)(\alpha-\beta+\gamma),
где \alpha=\sqrt{c+a}
, \beta=\sqrt{c+b}
и \gamma=\sqrt{c-a-b}
. Тогда
Q=(c+a)^{2}+(c+b)^{2}+(c-a-b)^{2}-2(c+a)(c+b)-2(c+b)(c-a-b)-2(c+b)(c-a-b)=
=-3c^{2}+4a^{2}+4b^{2}+4ab=0.
(последнее равенство следует из (1)).
Хотя бы один из четырёх сомножителей равного нулю произведения Q
равен 0, а так как \alpha+\beta+\gamma\gt0
и \alpha+\beta-\gamma\gt0
, то
\sqrt{c+a}-\sqrt{c+b}=\sqrt{c-a-b}~\mbox{или}~\sqrt{c+a}-\sqrt{c+b}=-\sqrt{c-a-b}.
Следовательно,
|\sqrt{c+a}-\sqrt{c+b}|=\sqrt{c-a-b}.
Утверждение пункта б) доказано.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2006, задача 5