17862. Около треугольника ABC
описана окружность \Gamma
. Точка M
лежит внутри треугольника ABC
, причём луч AM
— биссектриса угла BAC
. Лучи AM
, BM
и CM
пересекают \Gamma
в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно. Отрезки A_{1}C_{1}
и AB
пересекаются в точке P
, а отрезки A_{1}B_{1}
и AC
— в точке Q
. Докажите, что PQ\parallel BC
.
Решение. Пусть \angle BAC=2\alpha
. \angle B_{1}CQ=\angle AA_{1}B_{1}=\beta
и \angle ACC_{1}=AA_{1}C_{1}
. Тогда
\angle A_{1}B_{1}C=\alpha=\angle BB_{1}A_{1}=\angle A_{1}C_{1}C=\angle BC_{1}A_{1},
\angle B_{1}CQ=\beta=\angle AA_{1}B_{1}
Значит, треугольники MA_{1}B_{1}
и QCB_{1}
подобны по двум углам, поэтому \frac{QC}{MA_{1}}=\frac{B_{1}C}{B_{1}A_{1}}
. Треугольники ACM
и C_{1}A_{1}M
тоже подобны по двум углам, поэтому \frac{AC}{AM}=\frac{C_{1}A_{1}}{C_{1}M}
. Аналогично докажем, что
\frac{PB}{MA_{1}}=\frac{C_{1}B}{A_{1}C_{1}},~\frac{AB}{AM}=\frac{A_{1}B_{1}}{MB_{1}}.
Тогда
\frac{QC}{PB}=\frac{A_{1}C_{1}\cdot B_{1}C}{C_{1}B\cdot B_{1}A_{1}}~\mbox{и}~\frac{AC}{AB}=\frac{MB_{1}\cdot C_{1}A_{1}}{A_{1}B_{1}\cdot{C_{1}M}}=
=\frac{MB_{1}}{C_{1}M_{1}}\cdot\frac{C_{1}A_{1}}{A_{1}B_{1}}=\frac{MB_{1}}{C_{1}M}\cdot\frac{C_{1}B}{PB}\cdot\frac{QC}{B_{1}C}.
Треугольники C_{1}BM
и B_{1}CM
подобны по двум углам, поэтому
\frac{C_{1}B}{B_{1}C}=\frac{MC_{1}}{MB_{1}}~\Rightarrow~\frac{AC}{AB}=\frac{QC}{PB}.
Следовательно, PQ\parallel BC
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2010, задача 1