17863. Точки D
, E
и F
лежат на сторонах соответственно BC
, CA
и AB
треугольника ABC
, причём BD=CE=AF
и \angle BDF=\angle CED=\angle AFE
. Докажите, что треугольник ABC
равносторонний.
Решение. Обозначим через \alpha
, \beta
и \gamma
углы, противолежащие сторонам BC=a
, CA=b
и AB=\gamma
соответственно. Пусть BD=CE=AF=x
, \angle BDF=\angle CED=\angle AFE=\theta
, а R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
.
По теореме о внешнем угле треугольника \angle AED=\beta+\gamma
, поэтому \angle DFE=\beta
. Аналогично, \angle EDF=\gamma
и \angle FED=\alpha
. Треугольник EFD
подобен треугольнику ABC
с некоторым коэффициентом k
, поэтому FD=ka
, DF=kb
и EF=kc
. По теореме синусов из треугольников ABC
и BDF
получаем
\sin\beta=\frac{b}{2R},~\frac{c-x}{\sin\theta}=\frac{ka}{\sin\beta}=\frac{ka}{\frac{b}{2R}}=\frac{2Rka}{b}\Rightarrow~2Rk\sin\theta=\frac{b(c-x)}{a}.
Аналогично,
2Rk\sin\theta=\frac{c(a-x)}{b},~2Rk\sin\theta=\frac{a(b-x)}{c}.
Следовательно,
\frac{b(c-x)}{a}=\frac{c(a-x)}{b}=\frac{a(b-x)}{c}.\eqno(1)
Если две стороны треугольника ABC
равны, например, a=b
, то a(c-x)=c(a-x)
, откуда a=c
, а значит, a=b=c
. Тогда треугольник ABC
равносторонний.
Пусть две стороны треугольника ABC
равны. Тогда из формулы (1) следует, что равны все три стороны.
1. Пусть a\lt b\lt c
. Тогда из (1) следует, что b(c-x)\lt a(b-x)
, а так как b\gt a
и c-x\gt b-x
, то b(c-x)\gt a(b-x)
. Противоречие.
2. Пусть a\lt c\lt b
. Перепишем (1) в виде
\frac{c-x}{\frac{a}{b}}=\frac{a-x}{\frac{b}{c}}=\frac{b-x}{\frac{c}{a}}.
Тогда
a\lt c~\Rightarrow~a-x\lt c-x~\Rightarrow~\frac{b}{c}\lt\frac{a}{b}~\Rightarrow~b^{2}\lt ac,
что невозможно, так как b\gt a
и b\gt c
. Противоречие.
Таким образом, эти случаи невозможны. Следовательно, a=b=c
.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2011 задача 1