17865. Точка B
лежит на отрезке AC
. Точки P
и Q
лежат по одну сторону от прямой AC
, а точка R
— по другую, причём треугольники APB
, BQC
и ARC
равнобедренные с углами 120^{\circ}
при вершинах P
, Q
и R
. Докажите, что треугольник PQR
равносторонний.
Решение. Пусть прямые, проведённые через точки P
и Q
перпендикулярно AC
, пересекают AR
и CR
в точках K
и L
соответственно. Поскольку
\angle QBC=30^{\circ}=\angle PBA=\angle KBA
и аналогично, \angle PBA=\angle CBL
, то точки P
, B
и L
лежат на одной прямой и точки PBL
лежат на одной прямой. Кроме того, из симметрии \angle KPQ=\angle PKL
и \angle KPB=\angle PKB
. Значит, \angle LPQ=\angle LKQ
, поэтому точки K
, L
, Q
и P
лежат на одной окружности, а так как
\angle KPL+\angle KRL=60^{\circ}+120^{\circ}=180^{\circ},
то на этой окружности лежит и точка R
. Тогда
\angle PRQ=\angle PKQ=60^{\circ},~\angle RPQ=\angle RKQ=\angle RAP=60^{\circ}
(последнее равенство следует из параллельности AP
и KB
). Два угла треугольника PQR
равны 60^{\circ}
, поэтому третий угол тоже равен 60^{\circ}
. Следовательно, треугольник PQR
равносторонний. Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2000, задача 1