17866. Биссектриса угла при вершине A
треугольника ABC
, в котором AC\gt AB
, пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке D
. Прямая, проходящая через точку D
и центр O
описанной окружности, пересекает сторону AC
в точке E
. Известно, что BE\perp AD
. Докажите, что AO\parallel BD
.
Решение. Рассмотрим случай, когда треугольник ABC
остроугольный.
Пусть BE
и AD
пересекаются в точке N
. Биссектриса AN
треугольника BAE
является его высотой, поэтому треугольник ABE
равнобедренный с основанием BE
. Значит, BN=NE
. Тогда медиана DN
треугольника BDE
является его высотой, поэтому треугольник BDE
тоже равнобедренный, поэтому DA
— биссектриса угла BDE
.
Обозначим \angle ACB=\gamma
. Тогда
\angle ADE=\angle ADB=\angle ACB=\gamma,
а так как треугольник OAD
равнобедренный (OA=OD
как радиусы окружности), то
\angle DAO=\angle ADO=\gamma=\angle ADB.
Следовательно, AO\parallel BD
.
Аналогично для случая, когда треугольник ABC
неостроугольный.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2000, задача 5