17867. В треугольнике ABC
проведены высоты BE
и CF
, O
— точка их пересечения. Через точку O
проведена прямая, пересекающая AB
и AC
в точках K
и L
соответственно. Точки M
и N
лежат на высотах BE
и CF
соответственно, причём KM\perp BE
и LN\perp CF
. Докажите, что FM\parallel EN
.
Решение. Из точек F
и M
отрезок OK
виден под прямым углом. Значит, четырёхугольник KMOF
вписанный. Аналогично, четырёхугольник ONLE
вписанный. Тогда
\angle FMO=\angle FKO~\mbox{и}~\angle OEN=\angle OLN.
Значит,
\angle OLN=90^{\circ}-\angle NOL=90^{\circ}-\angle KOF=\angle OKF,
Поэтому \angle FMO=\angle OEN
. Следовательно, по признаку параллельности прямых FM\parallel EN
.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2001, задача 1