17868. В треугольнике ABC
проведена биссектриса AD
. Известно, что \angle B=2\angle C
и CD=AB
. Докажите, что \angle A=72^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle ACB=\gamma
и \angle DAC=\angle DAB=\beta
. Проведём биссектрису BE
треугольника ABC
. Поскольку \angle B=2\angle C
, получаем, что \angle CBE=\angle BCE=\gamma
. Значит, треугольник BEC
равнобедренный, BE=CE
. Тогда треугольники BEA
и CED
равны по двум сторонам и углу между ними. В частности, DE=AE
и \angle BEA=\angle CDE=2\beta
. Треугольник AED
равнобедренный, AE=DE
. Значит,
\angle ADE=\angle DAE=\angle BAD=\beta,
поэтому DE\parallel AB
. Тогда ABDE
— трапеция, а так как \angle BED=\angle DBE=\gamma
то треугольник BDE
равнобедренный, поэтому BD=DE=EA
. Значит, трапеция ABDR
равнобедренная. Тогда
\angle ABD=\angle BAE,~\mbox{или}~2\gamma=2\beta~\Rightarrow~\gamma=\beta.
Сумма углов треугольника ABC
равна 180^{\circ}
, т. е.
\gamma+2\gamma+2\beta=\gamma+2\gamma+2\gamma=5\gamma180^{\circ}~\Rightarrow~\gamma=36^{\circ}.
Следовательно,
\angle A=2\beta=2\gamma=72^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2001, задача 5