1787. Четыре дома расположены в вершинах выпуклого четырёхугольника. Где нужно вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от него до четырёх домов была наименьшей?
Ответ. В точке пересечения диагоналей четырёхугольника.
Указание. Предположите, что искомая точка не лежит на одной из диагоналей и воспользуйтесь неравенством треугольника.
Решение. Пусть дома расположены в вершинах четырёхугольника ABCD
, диагонали AC
и BD
которого пересекаются в точке O
. Предположим, что колодец находится в некоторой точке M
, отличной от O
. Тогда
AM+CM\geqslant AC,~BM+DM\geqslant BD,
причём хотя бы одно из этих неравенств строгое. Тогда
AM+CM+BM+DM\gt AC+BD=AO+CO+BO+DO,
т. е. сумма расстояний до вершин четырёхугольника ABCD
от точки O
меньше, чем от любой другой точки.
Источник: Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1948. — № 10, с. 44
Источник: Шень А. Х. Геометрия в задачах. — М.: МЦНМО, 2013. — № 51, с. 19
Источник: Дынкин Е. Б. и др. Математические задачи. — М.: Наука, 1966. — № 44, с. 13
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 11.34, с. 285
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 11.29, с. 276
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 39, с. 11
Источник: Бабинская И. Л. Задачи математических олимпиад. — М.: Наука, 1975. — № 303, с. 35