1787. Четыре дома расположены в вершинах выпуклого четырёхугольника. Где нужно вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от него до четырёх домов была наименьшей?
Ответ. В точке пересечения диагоналей четырёхугольника.
Указание. Предположите, что искомая точка не лежит на одной из диагоналей и воспользуйтесь неравенством треугольника.
Решение. Пусть дома расположены в вершинах четырёхугольника ABCD
, диагонали AC
и BD
которого пересекаются в точке O
. Предположим, что колодец находится в некоторой точке M
, отличной от O
. Тогда
AM+CM\geqslant AC,~BM+DM\geqslant BD,
причём хотя бы одно из этих неравенств строгое. Тогда
AM+CM+BM+DM\gt AC+BD=AO+CO+BO+DO,
т. е. сумма расстояний до вершин четырёхугольника ABCD
от точки O
меньше, чем от любой другой точки.